numerische Operationen auf vagen Regionen
Um Fragen beantworten zu können wie "Wie groß ist die Fläche der Nordsee ?" oder "Wie weit muß ich schwimmen
von Japan nach Australien zu kommen ?" werden noch andere Operationen benötigt. Sie heißen numerische
Operationen weil sie ein Element (hier Regionen) auf Zahlen abbilden.
Die Grundfläche eines Hauses (eine bestimmte Region) kann man relativ leicht bestimmen. Es gibt
auch Algorithmen, um die Fläche von anderen bestimmten Regionen berechnen zu können. Bei vagen
Regionen gibt es ein Problem. Gibt man als Fläche nur die Fläche des Kerns an, kann es sein, daß die wirkliche
Fläche größer ist. Nimmt Grenze und Kern zusammen, kann das Ergebniss großer als gewünscht sein. Das wirkliche
Ergebniss liegt irgendwo zwischen diesen beiden Werten. Man könnte jetzt einfach das Ergebnis als 'vage Zahl' ,
sprich ein Intervall darstellen. Versucht man aber dann solche Funktionen in bestehende geographische
Informationssysteme einzubetten, steht man vor einer Reihe von Problemen. Rechnet man mit Intervallen,
können die Ergebnisse von Operationen auch nur wieder Intervalle sein. Da in solchen Systemen auch mit Graphen
gerechnet wird, die Ergebnisse von Rechnungen benutzen, würde man einen 'vagen Graphen' erhalten, wobei die Frage
offen bleibt, was das überhaupt sein soll.
Man kann sich hier aber relativ leicht 'aus der Affäre ziehen'. Die Funktion area, die den Flächeninhalt berechnet wird
einfach in zwei Funktionen minarea und maxarea aufgeteilt, die den unteren bzw. oberen Wert des Intervalls liefern.
Damit kann man umgehen, daß die Vagheit weiter 'fortgepflanzt' wird.
Ganz ähnlich kann man mit dem Abstand (dist) zwischen zwei Regionen verfahren. Auch hier ist nicht klar was
der Abstand (gemeint ist hier immer der minimale Abstand) bei zwei vagen Regionen sein soll.
Der größte minimale Abstand ist der zwischen den beiden Kernen (grün). Dieser wird durch eine Funktion max-dist
geliefert. Der geringste minimale Abstand ist der zwischen den Regionen insgesamt also Kern und Grenze
zusammen (rot) . Dieser Wert wird von der Funktion min-dist geliefert.
Leider lassen sich nicht alle Operationen, die auf bestimmten Regionen eindeutig definiert werden können a
uf vage Regionen übertragen. Versuche z.B. den Umfang der Region für die folgenden Bilder festzulegen.
Das Bild zeigt die momentanen Situationen zweier Seen, die ab und zu austrocknen. Die Stellen, wo sich immer Wasser befindet,
sind dunkelblau gezeichnet und die Teile, die zwar im Moment unter Wasser stehen, jedoch auch manchmal trocken
sind sind hellblau. Die Teile die im Moment trocken sind, jedoch auch mal überflutet werden sind
braun und Teile, die immer trocken sind gelb. Betrachte man nun das linke Bild und
versucht den maximalen Umfang als Umfang der maximal möglichen Region zu definieren, so
erhält man einen Wert, der kleiner ist als der aktuelle Umfang und daher nicht maximal sein kann.
Sieht man sich das rechte Bild an und versucht den minimalen Umfang einer Region durch den Umfang des
Kerns zu definieren,kommt man auch nicht weiter. Da Löcher im allgemeinen mit zum Umfang einer (bestimmten)
Region beitragen, ist der Umfang des Kerns hier größer als der aktuelle Umfang der Region ist. Daher kann
dieser Umfang nicht minimal sein. Im Endeffekt kann man solch eine Funktion auf vagen Regionen nicht
definieren.
Ein anderes Beispiel einer nicht definierbaren Operation auf vagen Mengen ist die Anzahl der
Zusammenhangskomponenten. Auch hier gibt es Probleme :
Im linken Bild sieht man, daß weder die Anzahl der Zusammenhangkomponenten des Kerns , der Grenze oder beide
zusammen eine obere Grenze der Region liefern können, da alle kleiner sind als die der aktuellen Region. Wie
im rechten Bild zu sehen ist, kann aber auch keine untere Grenze angegeben werden, da hier die Anzahl der
Zusammenhangskomponenten der aktuellen Region kleiner ist als eine der möglichen Kandidaten zur Berechnung.