Bestimmte Regionen


Im Folgenden wird das Punktmengenmodell für Regionen verwendet. Dort ist Laut Definition ist eine bestimmte Region eine reguläre abgeschlossene Punktmenge über einer gegebenen Grundmenge. Hier ist die gegebene Grundmenge eine zweidimensionale Fläche und daher ist eine Region ein Teilgebiet dieser Fläche. Regulär bedeutet in diesem Fall, daß zur Region weder einzelne Linie noch einzelne Punkte gehören oder aus dem Gebiet fehlen.
Weitere Bedingungen werden an eine Region nicht gestellt. Sie muß also nicht zusammenhängend sein und kann Löcher enthalten. Ein bekanntes Beispiel eine solchen Region ist z.B. ein Land in einem Atlas.
Abbildung : Eine Region
Für solche Regionen kann man für jedes Element der Grundmenge genau bestimmen, ob es zur Region gehört oder nicht. Deshalb spricht man hier auch von bestimmten Regionen. Für die weiteren Ausführung könnten auch andere Modelle für Regionen verwendet werden, solange gewisse Operationen bereitgestellt werden. Diese umfassen :
Zusätzlich müssen die Operationen union und intersection eine boole'sche Algebra bilden.

Vage Regionen

Nun gibt es aber auch Regionen, für die man nicht genau bestimmen kann, ob ein Element zur Region gehört oder nicht. Dies kann zwei grundsätzliche Ursachen haben :
Zum einen kann die real existierende scharfe Grenze nicht genau gemessen oder dargestellt werden. Diese Unschärfe in der Grenze hängt vor allem von der verfügbaren Technik ab. Zum Beispiel kann die Darstellung einer Grenze inerhalb eines Computers genauer werden, wenn man ein anderes Zahlenformat wählt (z.B. double statt einfachem real).
Die andere Möglichkeit ist, das es keine reale scharfe Grenze gibt. Als Beispiel kann kann ein See dienen, der ab und zu austrocknet.
Abbildung: eine vage Region
Die gelben Flächen bezeichnen Land. Die braunen Flächen sind aktuell auch Land, können jedoch auch mal überflutet werden. Die hellblauen Flächen sind momentan mit Wasser bedeckt, können jedoch auch austrocknen und die dunkelblauen Bereiche sind stets mit Wasser bedeckt.
Auch in einem Atlas können solche Regionen gefunden werden:
Wer kann schon genau sagen, wo die Grenze zwischen Nord- und Ostsee verläuft ? Wenn als Grenze der Nordsee die aktuelle Wasserfläche genommen wird, wie sollten dann Ebbe und Flut behandelt werden. Hier gibt es also Bereiche, die mal zur Nordsee gehören und mal nicht.
Auch eine Grenze zwischen einem Berg und einem Tal kann man nur künstlich scharf angeben.
In diesem Text wird nur die zweite Möglichkeit betrachtet, also der Fall ,in dem die Unbestimmtheit der Grenze beim realen Objekt liegt.
Das hier betrachtete Modell versucht vage Regionen durch bekannte Mittel darzustellen, in der Hoffnung, daß es dadurch einfacher sein wird sie in bestehende geographische Informationssysteme einzubinden.
Betrachtet man vage Regionen genauer, kann man feststellen, daß nicht jeder Teil dieser Region mit Unsicherheit behaftet ist. Vielmehr gibt es oft
Durch diese Beobachtung kann man versuchen, eine vage Region durch ein Paar von bestimmten Regionen darzustellen. Eine Region stellt den sogenannten Kern der Region dar, also den Teil der Region, der sicher zur Region gehört. Die andere entspricht dem unsicheren Teil, der auch als breite Grenze bezeichnet wird. Diese beiden Regionen sind 'schwach' disjunkt, d.h. kein Element der Grundmenge kann sowohl zur breiten Grenze als auch zum Kern der Region gehören. (Schwach bedeutet hier, das es nichts ausmacht, wenn die Regionen gemeinsame Punkte oder Grenzabschnitte haben). Der Begriff breite Grenze resultiert aus der Tatsache, daß der 'unsichere' Teil einer vagen Region den Kern meistens umschließt. Betrachtet man z.B. die Umweltverschmutzung in einem Industriegebiet, also eine vage Region namens "verschmutztes Gebiet", so schließt sich daß weniger verschmutzte Gebiet(breite Grenze) an das stark verschmutzte Gebiet (Kern) an. Dies muß allerdings nicht so sein. Betrachtet man sich Regionen, in denen Gold vorkommt, kann es Bereiche geben, in denen Gold vermutet wird, die aber nicht an Bereiche Grenzen, in denen auf jeden Fall Gold zu finden ist.
Formal ergibt sich dann : vageRegion = (k,b)
k ist die Kernregion und b ist die Grenzregion.

Der entscheidende Vorteil dieser Darstellung ist seine Einfachheit. Hat man bereits eine Darstellung einer bestimmten Region (was sicher in einem geographischen Informationsystem der Fall ist), kann man relativ leicht eine vage Region darstellen. Auch wie man später sehen kann, können einige Operationen auf vagen Regionen durch bereits vorhandene Operationen auf bestimmten Regionen realisiert werden. Außerdem muß man auf seine bestimmte Regionen in diesem Modell nicht verzichten: sie bilden den Spezialfall, in dem der vage Teil der Region leer ist. Aber - wie es so schön heißt - kein Vorteil ohne Nachteil. Die Möglichkeiten dieser Darstellung sind nicht sehr groß. Bleiben wir beim Beispiel "verschmutzte Umwelt". Oft nimmt die Umweltverschmutzung um ein Industriegebiet kontinuierlich ab. Dieses kann mit diesem Ansatz nicht dargestellt werden. Man könnte zwar diesen Ansatz erweitern, um feinere Abstufungen zu bekommen (also ein paar mehr Regionen für unterschiedliche Stufen der Verschmutzung), aber um die kontinuierliche Abnahme der Umweltverschmutzung darzustellen, bräuchte man unendlich viele Regionen, was aus verständlichen Gründen keine befriedigende bzw. mögliche Lösung sein kann. Hierfür werden i.a. andere Techniken verwendet, z.B. Fuzzy-Mengen, die zu einem Element nicht nur das Enthaltensein in der Menge, sondern auch noch den Grad der Zugehörigkeit festlegen.